【复合函数怎么求导啊】在学习微积分的过程中，复合函数的求导是一个非常重要的知识点。很多同学在刚开始接触时会感到困惑，不知道该如何下手。其实只要掌握好“链式法则”（Chain Rule），就能轻松解决这类问题。
一、什么是复合函数？
复合函数是指由两个或多个函数组合而成的新函数。例如：
如果 $ y = f(u) $，而 $ u = g(x) $，那么 $ y = f(g(x)) $ 就是一个复合函数，记作 $ y = f \circ g $。
二、复合函数的求导方法
复合函数的求导需要使用链式法则，其基本思想是：
> 先对外层函数求导，再对内层函数求导，最后将两者相乘。
公式表示为：
$$
\frac{dy}{dx} = \frac{dy}{du} \cdot \frac{du}{dx}
$$
三、求导步骤总结
| 步骤 | 操作说明 |
| 1 | 确定外层函数和内层函数。例如：$ y = \sin(3x) $，外层是 $ \sin(u) $，内层是 $ u = 3x $。 |
| 2 | 对外层函数求导，把内层函数当作变量。例如：$ \frac{d}{du} \sin(u) = \cos(u) $。 |
| 3 | 对内层函数求导。例如：$ \frac{d}{dx} 3x = 3 $。 |
| 4 | 将两步的结果相乘。例如：$ \cos(3x) \cdot 3 = 3\cos(3x) $。 |
四、常见复合函数求导示例
| 函数 | 外层函数 | 内层函数 | 导数计算过程 | 结果 |
| $ y = \sin(2x) $ | $ \sin(u) $ | $ u = 2x $ | $ \cos(u) \cdot 2 $ | $ 2\cos(2x) $ |
| $ y = e^{x^2} $ | $ e^u $ | $ u = x^2 $ | $ e^u \cdot 2x $ | $ 2x e^{x^2} $ |
| $ y = \ln(5x + 3) $ | $ \ln(u) $ | $ u = 5x + 3 $ | $ \frac{1}{u} \cdot 5 $ | $ \frac{5}{5x + 3} $ |
| $ y = (x^3 + 1)^4 $ | $ u^4 $ | $ u = x^3 + 1 $ | $ 4u^3 \cdot 3x^2 $ | $ 12x^2(x^3 + 1)^3 $ |
五、小结
复合函数的求导并不复杂，关键在于识别外层和内层函数，并正确应用链式法则。通过多做练习题，逐步熟悉各种类型的复合函数，就能熟练掌握这一技巧。
如果你在学习过程中遇到困难，不妨从简单的例子入手，逐步提升难度，相信你会越来越得心应手！