积分表达式是∫ 1/(1+sinx) dx，最终不定积分结果为 tanx 减 secx 加 C，也可以等价写成 tan (x/2 减 π/4) 加 C，这个积分属于三角函数有理式积分，因为分母是 1 加 sinx，直接积分没有现成公式，所以采用分子分母同乘共轭因式的方法进行有理化处理，利用三角恒等式把分母转化成平方差形式，再拆分积分项，借助基本三角函数积分公式完成运算，计算过程要牢记不定积分必须加上任意常数 C，并且不同变形得到的等价表达式之间只相差常数，都属于正确原函数，整个推导要保证每一步三角恒等变换准确，最后通过求导验算，确认导数等于被积函数，最终完成该不定积分求解。
核心推导过程
原式 ∫ 1/(1+sinx) dx
第一步 分子分母同时乘以 1 减 sinx
= ∫ (1-sinx)/[(1+sinx)(1-sinx)] dx
第二步 分母用平方差，(1+sinx)(1-sinx)=1-sin²x=cos²x
= ∫ (1-sinx)/cos²x dx
第三步 拆成两项
= ∫ 1/cos²x dx 减 ∫ sinx/cos²x dx
第四步 套用基本积分公式
∫1/cos²x dx = tanx
∫ sinx/cos²x dx = secx
第五步 合并结果
= tanx 减 secx 加 C
等价变形说明
tanx 减 secx 加 C 还可以继续三角恒等变换
tanx 减 secx = (sinx/cosx) 减 (1/cosx) = (sinx 减 1)/cosx
也可以化成 tan (x/2 减 π/4) 加 C
两种表达式求导之后，都等于 1/(1+sinx)，属于同一族原函数，只是形式不同。
验算方法
对结果 tanx 减 secx 求导
导数 = sec²x 减 secx tanx
= (1/cos²x) 减 (1/cosx)(sinx/cosx)
= (1 减 sinx)/cos²x
= (1 减 sinx)/[(1+sinx)(1 减 sinx)]
= 1/(1+sinx)
验算成立，证明原函数正确。
解题方法对比清单
方法一 共轭因式法 也就是本篇使用的方法，计算简洁，是这道题首选解法
方法二 万能代换法 令 t=tan (x/2)，sinx=2t/(1+t²)，dx=2dt/(1+t²)，代入积分也可以算出同样结果，计算步骤更多
注意要点
1 定义域 原函数在 cosx 不等于 0，也就是 x 不等于 π/2+kπ 的区间内成立
2 任意常数 C 不能遗漏，不定积分是全部原函数的集合
3 遇到分母是 1 加 sinx 或者 1 减 sinx，都可以优先尝试共轭因式有理化
【相关 FAQ】
问题 1 1+sinx 分之一的不定积分可以用万能代换求解吗
回答 1 可以，1+sinx 分之一的不定积分能够使用万能代换法求解，令 t 等于 tan 二分之 x 代入原式，经过化简积分运算，最终得到和共轭因式法相同的原函数结果。
问题 2 1+sinx 分之一的不定积分结果为什么会有不同写法
回答 2 1+sinx 分之一的不定积分不同写法是三角恒等变形造成的，tanx 减 secx 加 C 和 tan 二分之 x 减四分之 π 加 C，二者只相差常数，都属于正确的原函数。
问题 3 求 1+sinx 分之一的不定积分最后为什么一定要加常数 C
回答 3 因为 1+sinx 分之一的不定积分代表全部原函数，原函数之间相差一个常数，所以计算完成之后必须添加任意常数 C，才能表示完整的不定积分。
问题 4 1+sinx 分之一的不定积分可以直接套用基本积分公式吗
回答 4 不可以直接套用基本积分公式，1+sinx 分之一的不定积分需要先做有理化变形，把被积函数拆分之后，才能够使用三角函数基本积分公式继续计算。
【免责申明】
本文为高等数学不定积分解题参考，推导基于常规数学定义，学习练习请结合教材规范，本文内容仅供学习参考，不替代专业课程教学。