【高数积分公式大全】在高等数学中，积分是核心内容之一，涵盖了不定积分与定积分的计算方法。掌握常见的积分公式，对于学习微积分、解决实际问题具有重要意义。以下是对常见积分公式的总结，结合表格形式进行展示，便于查阅和记忆。
一、基本积分公式
| 积分表达式 | 积分结果 | ||
| ∫ dx | x + C | ||
| ∫ x^n dx | (x^(n+1))/(n+1) + C （n ≠ -1） | ||
| ∫ 1/x dx | ln | x | + C |
| ∫ e^x dx | e^x + C | ||
| ∫ a^x dx | (a^x)/ln(a) + C （a > 0, a ≠ 1） | ||
| ∫ sin(x) dx | -cos(x) + C | ||
| ∫ cos(x) dx | sin(x) + C | ||
| ∫ sec²(x) dx | tan(x) + C | ||
| ∫ csc²(x) dx | -cot(x) + C | ||
| ∫ sec(x)tan(x) dx | sec(x) + C | ||
| ∫ csc(x)cot(x) dx | -csc(x) + C |
二、三角函数积分公式
| 积分表达式 | 积分结果 | ||
| ∫ sin(ax) dx | -cos(ax)/a + C | ||
| ∫ cos(ax) dx | sin(ax)/a + C | ||
| ∫ tan(x) dx | -ln | cos(x) | + C |
| ∫ cot(x) dx | ln | sin(x) | + C |
| ∫ sec(x) dx | ln | sec(x) + tan(x) | + C |
| ∫ csc(x) dx | -ln | csc(x) + cot(x) | + C |
三、有理函数积分公式
| 积分表达式 | 积分结果 | ||
| ∫ 1/(x^2 + a^2) dx | (1/a)arctan(x/a) + C | ||
| ∫ 1/(x^2 - a^2) dx | (1/(2a))ln | (x - a)/(x + a) | + C |
| ∫ 1/(ax + b) dx | (1/a)ln | ax + b | + C |
| ∫ x/(ax + b) dx | (1/a^2)(ax + b - b ln | ax + b | ) + C |
四、反三角函数积分公式
| 积分表达式 | 积分结果 | ||
| ∫ 1/(a^2 + x^2) dx | (1/a)arctan(x/a) + C | ||
| ∫ 1/(a^2 - x^2) dx | (1/(2a))ln | (a + x)/(a - x) | + C |
| ∫ 1/√(a^2 - x^2) dx | arcsin(x/a) + C | ||
| ∫ 1/√(x^2 + a^2) dx | ln | x + √(x^2 + a^2) | + C |
| ∫ 1/√(x^2 - a^2) dx | ln | x + √(x^2 - a^2) | + C |
五、特殊函数积分公式
| 积分表达式 | 积分结果 |
| ∫ x^n e^{ax} dx | e^{ax}(x^n/a - n x^{n-1}/a^2 + ... + (-1)^n n!/a^{n+1}) ) + C |
| ∫ e^{ax} sin(bx) dx | e^{ax}/(a^2 + b^2) [a sin(bx) - b cos(bx)] + C |
| ∫ e^{ax} cos(bx) dx | e^{ax}/(a^2 + b^2) [a cos(bx) + b sin(bx)] + C |
| ∫ ln(x) dx | x ln(x) - x + C |
| ∫ x ln(x) dx | (x^2/2) ln(x) - x^2/4 + C |
六、积分技巧补充
- 换元法（变量代换）：适用于被积函数中含有复合函数的情况。
- 分部积分法：适用于乘积形式的积分，如 ∫ u dv = uv - ∫ v du。
- 部分分式分解：用于有理函数的积分。
- 对称性分析：用于奇偶函数在对称区间上的积分简化。
结语
积分是高等数学中的重要工具，掌握好这些基础公式和技巧，能够帮助我们在后续的学习中更加高效地解决问题。建议在学习过程中多做练习题，并结合图形理解积分的意义。希望本文能为你的高数学习提供一定的帮助。