【arctantanx的平方化简】在数学中，反三角函数与三角函数的组合常常会带来一些复杂的表达式。其中，“arctan(tan x) 的平方”是一个常见的表达形式，但其化简过程需要特别注意定义域和周期性问题。本文将对这一表达式进行详细分析，并通过总结和表格形式展示化简结果。
一、概念解析
- arctan(x)：表示反正切函数，其值域为 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$。
- tan(x)：正切函数，其周期为 $\pi$，定义域为 $x \neq \frac{\pi}{2} + k\pi$（k 为整数）。
- arctan(tan x)：这是一个复合函数，其本质是将 tan x 的值映射回 $-\frac{\pi}{2}$ 到 $\frac{\pi}{2}$ 的范围内，因此它具有周期性，但不等于 x，除非 x 在该区间内。
二、关键性质
1. 当 $x \in (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 时，有：
$$
\arctan(\tan x) = x
$$
2. 当 $x \notin (-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 时，由于 tan x 是周期性的，arctan(tan x) 会返回一个等效角度，使得该角度落在 $(-\frac{\pi}{2}, \frac{\pi}{2})$ 内。
3. 所以，$\arctan(\tan x)$ 实际上是 x 对 $\pi$ 取模后的值，再调整到主值范围内的结果。
三、平方化简
我们考虑的是：
$$
| \arctan(\tan x)]^2 $$ 由于 arctan(tan x) 并不总是等于 x，因此不能直接简化为 $x^2$。正确的做法是根据 x 所在的区间进行分类讨论。 四、分类讨论与化简结果
五、总结 - $\arctan(\tan x)$ 的值依赖于 x 的具体位置，不能简单地认为等于 x。 - 因此，$\arctan(\tan x)$ 的平方也需根据 x 所在区间进行化简。 - 最终结果可以表示为： $$
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