【什么是两点分布】两点分布，又称伯努利分布（Bernoulli Distribution），是概率论中一种最基本的离散型概率分布。它描述的是一个随机试验只有两种可能结果的情况，通常称为“成功”和“失败”。这种分布广泛应用于各种实际问题中，如抛硬币、产品质量检验等。
两点分布的数学定义如下：设随机变量 $ X $ 只能取两个值 0 和 1，其中：
- $ P(X = 1) = p $
- $ P(X = 0) = 1 - p $
其中，$ p $ 是成功的概率，且满足 $ 0 \leq p \leq 1 $。
两点分布的特点总结
| 特点 | 内容 |
| 类型 | 离散型概率分布 |
| 取值范围 | 0 和 1 |
| 成功概率 | $ p $，$ 0 \leq p \leq 1 $ |
| 失败概率 | $ 1 - p $ |
| 数学期望 | $ E(X) = p $ |
| 方差 | $ Var(X) = p(1 - p) $ |
| 应用场景 | 抛硬币、二元分类、质量检测等 |
举例说明
假设我们进行一次抛硬币实验，正面为“成功”，反面为“失败”。若硬币是公平的，则 $ p = 0.5 $，即：
- $ P(X = 1) = 0.5 $
- $ P(X = 0) = 0.5 $
如果硬币不均匀，比如正面出现的概率为 0.7，则：
- $ P(X = 1) = 0.7 $
- $ P(X = 0) = 0.3 $
与二项分布的关系
两点分布是二项分布的一个特例。当进行 $ n $ 次独立重复的伯努利试验时，成功次数服从参数为 $ n $ 和 $ p $ 的二项分布。而当 $ n = 1 $ 时，二项分布就退化为两点分布。
小结
两点分布是一种简单但重要的概率模型，适用于只有两种可能结果的随机事件。通过理解其数学表达和实际应用，可以更好地掌握概率统计的基础知识，并在实际问题中加以运用。