问导数为arctanx的原函数

【导数为arctanx的原函数】在微积分中，求一个函数的原函数是常见的问题。当我们知道一个函数的导数是 $ \arctan x $ 时，我们需要找到它的原函数，即找出一个函数 $ F(x) $，使得：

$$

F'(x) = \arctan x

$$

这个过程通常涉及积分运算，具体来说就是计算不定积分：

$$

\int \arctan x \, dx

$$

下面我们将对这一积分进行总结，并列出其原函数的形式。

一、积分方法简述

要计算 $ \int \arctan x \, dx $，可以使用分部积分法。设：

- $ u = \arctan x $

- $ dv = dx $

则有：

- $ du = \frac{1}{1 + x^2} dx $

- $ v = x $

根据分部积分公式：

$$

\int u \, dv = uv - \int v \, du

$$

代入得：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

接下来，计算右边的积分：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx

$$

令 $ w = 1 + x^2 $，则 $ dw = 2x dx $，即 $ x dx = \frac{1}{2} dw $，因此：

$$

\int \frac{x}{1 + x^2} dx = \frac{1}{2} \int \frac{1}{w} dw = \frac{1}{2} \ln w + C = \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

所以，最终结果为：

$$

\int \arctan x \, dx = x \arctan x - \frac{1}{2} \ln(1 + x^2) + C

$$

二、总结表格

三、注意事项

- 在实际应用中，若题目给出特定区间或初始条件，需代入求出具体的常数 $ C $。

- 这个结果适用于所有定义域内的 $ x $，因为 $ \arctan x $ 在整个实数范围内都有定义。

- 若需要定积分形式，可将上下限代入上述原函数进行计算。

通过以上分析和总结，我们得到了导数为 $ \arctan x $ 的原函数，并对其计算过程进行了详细说明。