【常用函数泰勒展开公式】在数学分析中，泰勒展开是一种将函数表示为无限级数的方法，适用于在某一点附近对函数进行近似计算。泰勒展开不仅在数学理论中有重要地位，在物理、工程和计算机科学等领域也广泛应用。以下是一些常见函数的泰勒展开公式，以总结形式呈现，并辅以表格展示。
一、泰勒展开的基本概念
泰勒展开是将一个可导函数在某一点附近用多项式逼近的方法。若函数 $ f(x) $ 在点 $ a $ 处有任意阶导数，则其泰勒展开式为：
$$
f(x) = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{f^{(n)}(a)}{n!}(x - a)^n
$$
当 $ a = 0 $ 时，称为麦克劳林展开。
二、常用函数的泰勒展开公式（以 $ x = 0 $ 为中心）
| 函数 | 泰勒展开式 | 收敛区间 | ||
| $ e^x $ | $ 1 + x + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^n}{n!} $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \sin x $ | $ x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \frac{x^7}{7!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \cos x $ | $ 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \frac{x^6}{6!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \ln(1+x) $ | $ x - \frac{x^2}{2} + \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} + \cdots = \sum_{n=1}^{\infty} (-1)^{n+1} \frac{x^n}{n} $ | $ -1 < x \leq 1 $ | ||
| $ \arctan x $ | $ x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} (-1)^n \frac{x^{2n+1}}{2n+1} $ | $ -1 \leq x \leq 1 $ | ||
| $ (1+x)^k $ | $ 1 + kx + \frac{k(k-1)}{2!}x^2 + \frac{k(k-1)(k-2)}{3!}x^3 + \cdots $ | $ | x | < 1 $（广义二项式展开） |
| $ \sinh x $ | $ x + \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} $ | $ (-\infty, +\infty) $ | ||
| $ \cosh x $ | $ 1 + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} + \cdots = \sum_{n=0}^{\infty} \frac{x^{2n}}{(2n)!} $ | $ (-\infty, +\infty) $ |
三、说明与注意事项
1. 收敛性：每个展开式的收敛区间不同，使用时需注意定义域。
2. 近似计算：泰勒展开常用于数值计算中，通过截断高阶项得到近似值。
3. 应用广泛：如在微分方程、信号处理、数值分析等领域都有广泛应用。
4. 避免混淆：某些函数如 $ \ln(1+x) $ 的展开仅在特定区间内有效，不可随意推广。
四、结语
掌握常用函数的泰勒展开公式，有助于理解函数的局部行为，并在实际问题中实现高效计算。建议结合具体应用场景选择合适的展开方式，并注意其收敛条件，以确保结果的准确性与有效性。